بارم بندي درس رياضيات ( 2)

                                                                 معما:

 در زمان قديم كه روستاييان محصولات خودشان را به ميدان براي فروش مي آ وردند يك زن روستايي يك سبد تخم مرغ به ميدان آورده بود كه بفروشد هنوز هيچ نفروخته بود كه اسب يك سوار پاش خورد به سبد تخم مرغ. نتيحتا بيشتر تخم مرغ ها شكستند.اسب سوار خيلي نا راحت شد واز روستايي پوزش خوا ست و حاضر شد پول همه آنهارا بپردازد.اسب سوار از روستايي سوال كرد":

                                                  "مادر جون چند تا تخم مرغ داشتي؟"

                                                         خانم در حواب گفت:
"تعدادشونو نميدو نم اما وقتي آنهارا دوتا دوتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند وقتي سه تا سه تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي چهارتا چهارتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي پنحتا پنحتا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, وقتي شش تا شش تا بر ميداشتم يكي باقي ميموند, اما وقتيكه هفت تا هفت تا بر ميداشتم هيچي باقي نميموند.
اسب سوار حساب كرد و پول تخم مرغاي زن را داد.
                                                             سوال:

كمترين تعداد تخم مرغي كه زن روستايي ميتوانست داشه باشد چندتا بود؟

                                                    ابتکار گوس

در رياضيات آنچه كه مهم است فكر كردن، استدلال كردن و نتيجه گرفتن است . رياضيات راهي براي انديشيدن و روشي براي استدلال و درست فكركردن است . استدلال وسيلهاي است كه به كمك آن ميتوان از روي اطلاعاتي كه داريم حقايقي را كشف كنيم . البته رياضيات به تجربه و مشاهده نيز مربوط مي شود ولي قسمت اعظم آن همان انديشيدن، استدلال كردن و نتيجه گرفتن است.

گوس رياضي دان آلماني ده ساله بود. روزي معلم از دانش آموزان كلاس خواست كه مداد و كاغذ بردارند و حاصل جمع اعداد 100 تا1 را به دست آورند. دو دقيقه نگذشته بود كه معلم گوس را ديد كه به كار ديگري مشغول است از او پرسيد : چرا مسأله را حل نمي كني؟ او جواب داد: تمام شد.
معلم با ناراحتي گفت: اين غير ممكن است ولي گوس گفت: خيلي هم آسان بود
اول چنين نوشتم : 100+99+98+97+...+3+2+1
و بعد چنين: 1+2+3+...+96+97+98+99+100
و جفت جفت از اول با آخر جمع كردم :         101+101+101+...+101+101+101+101
بدين ترتيب 50 تا عدد 101 به دست آوردم كه حاصل جمع آنها ميشود 5050=101×50 پس حاصل جمع اعداد 1 تا100 ميشود 5050

پارادوکسی دیگر :

 پادشاه چین و وزیر منطقی و ریاضیدان 

وزیری در دربار چین معروف به آدم منطقی و راستگو بود. او معتقد بود که همیشه راستگویی برنده کارزار بین انسانهاست. درباریان حسود نزد پادشاه شکوه کردند که پادشاه همیشه حرف وزیر را گوش می کند.
آن قدر گفتند تا پادشاه بر وزیر خود خشم گرفت و خواست او را بکشد. به وزیر گفت اگر راست گو هستی حرفی بزن تا تو را از مرگ برهاند.
پس به وی چنین گفت: "دستور می دهم یا به چوبه دار آویخته شوی یا با تبر گردنت را بزنند. حال خود بگو با کدام یک از این دو وسیله کشته میشوی؟ اگر راست بگویی با تبر گردنت را می زنند و اگر دروغ بگویی به دار آویخته خواهی شد."

وزیر که منطق دان بود در پاسخ جمله ای بیان کرد که نتوانستند هیچ یک از دو حکم را اجرا کنند.
وزیر جمله ای را بیان کرد که تعارض پدید آورد ، یعنی گزاره ای که خود را نفی کند. وی در پاسخ گفت: "مرا به دار خواهید آویخت" .
حال اگر این جمله را راست قبول کنند باید با تبر گردنش را بزنند که در این صورت جمله او دروغ است و باید به دار آویخته شود اما در این صورت راست گفته و... به همین ترتیب اگر جمله وزیر را دروغ قبول کنند باز به تعارض بر می خورند.

و به این ترتیب پادشاه از کشتن او صرفنظر کرد.

معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)
فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند.سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم مي شوند: Fn-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند ... تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با Fn-1 نشان داده ميشود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از اين فرمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
سري اعداد Fn را دنباله فيبوناتچي مي نامند. با يك توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
حد دنباله فیبوناتچی

حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك  سري  خواهيم داشت كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم .ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : ... 618033/ 1
به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي مي رسد.
بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد
Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

عدد طلایی(عدد فی):
قبلا در مورد چگونگي بدست آوردن عدد طلايي از طريق دنباله فيبوناچي صحبت شد.حالا در مورد راههاي ديگر بدست اوردن اين عدد صحبت ميكنيم ...
در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .
چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :                x^2-x-1=0
حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است:   2/( x=(1+5^0.5           
در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني  (في ) نمايش مي دهند ...
نسبت طلایی در بدن انسان

دانشمندان گذشته نیز از نسبت طلایی استفاده های زیادی کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.
در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان  در حد کمال زیبایی خود آفریده شده است.    

پارادوكس (متناقض نما)

 عبارتي ظاهراً درست است كه به نتايجي تناقض‌آميز منجر شده و وضعيتي به وجود مي‌آيد كه با شهود ما ناسازگار است.
يكي از مهم‌ترين پارادوكس‌هاي رياضي عبارت است از پارادوكس راسل.

برتراند راسل       

برتراند راسل(Bertrand Russell) در 18 مي 1872 در ولز متولد شد و شهرتش به خاطر كارهاي بنيادي او در زمينه هاي مختلفي هم چون منطق رياضي،فلسفه ي تحليلي و ادبيات مي باشد.وي برنده ي جايزه ي نوبل ادبي 1950 و از فعالان ضد جنگ بود.مشهورترين اثر وي كتاب Principia Mathematica مي باشد كه در زمينه ي مباني رياضي و با همكاري آلفرد وايتهد(Alfred N.Whitehead) نوشت.وي در 2 فوريه ي 1970 در ولز درگذشت.
در پارادوكس راسل عنوان مي‌شود كه: «مجموعه‌ي همه‌ي مجموعه‌ها وجود ندارد.»

براي اين پارادوكس به روش‌هاي مختلفي صورت‌هاي عاميانه‌اي ارائه شد.يكي از مشهورترين آن‌ها توسط خود راسل مطرح شد:
آرايشگري در يك دهكده اعلام مي‌دارد كه فقط و فقط صورت افرادي را اصلاح مي‌كند كه خودشان صورت خود را اصلاح نمي‌كنند. پارادوكس از اين‌جا ناشي مي‌شود كه بخواهيم به اين سؤال پاسخ دهيم: 

 آيا آرايشگر صورت خود را اصلاح مي‌كند؟

اگر صورت خود را اصلاح كند پس مطابق آن‌چه اعلام كرده، نبايد چنين كند و اگر صورت خود را اصلاح نكند پس مطابق آن‌چه اعلام كرده، بايد صورت خود را اصلاح كند

                 سال  تحصیلی 88-1387

                      تذکرات مهم :
1ـ رعایت بارم بندی درطرح سؤالات امتحانات نهایی الزامی ولی درامتحانات داخلی پیشنهادی است. بدیهی است رعایت بارم بندی درطراحی سئوالات امتحانات هماهنگ کشوری یا استانی از تضیع حق دانش آموزان جلوگیری خواهد کرد.

2- بر اساس تبصره 1/2 ماده 19 آیین نامه آموزشی دوره پیش دانشگاهی ، سؤالات امتحانات نوبت شهریور مراکز پیش دانشگاهی که به صورت هماهنگ منطقه ای طراحی می شود براساس20 نمره و همانند بارم بندی امتحانات جبرانی مربوطه می باشد.
3ـ بارم بندی دروس دوره ی متوسطه در دبیرستان های بزرگسالان همانند بارم بندی نوبت شهریور است.
4ـ مواردی ازکتاب درسی که مطالعه آزاد اعلام گردیده در ارزشیابی ها لحاظ نمی گردد.

بارم بندی ریاضیات (1 )

آیا می‌د‌انید‌ «گوگل» به چه معنی است؟

خداوند دائم به کار هندسه مشغول است

افلاطون